Egzamin dojrzałości już wkrótce. To czas stresu i niepewności przed wejściem w „dorosłość”. Matura otwiera drogę do dalszej edukacji i wyważonych kierunków studiów. Dla wielu z was matematyka będzie niezbędna w dalszej pracy zawodowej, dla innych jest to jedynie przedmiot do zdania matury. Zarówno jednych, jak i drugich przygotowujemy profesjonalnie ,udzielając indywidualnych lekcji w Sali W28, która znajduje się w Mławie i od wielu lat służy dobrą radą wszystkim potrzebującym. Dziś postanowiliśmy się podzielić z czytelnikami Codziennika przykładowym zadaniem, które należy do grupy tak zwanych „pewniaków”. Nie oznacza to, że na maturze pojawi się identyczne zadanie, lecz wzorzec na pewno wam się przyda i pozwoli zdobyć pierwsze dwa punkty. Egzaminy na poziomie podstawowym są obowiązkowe, a ich próg zdawalności wynosi 30% możliwych do uzyskania punktów.

Przypominamy, że egzamin maturalny z matematyki na poziomie podstawowym odbędzie się 6 maja, we wtorek o godzinie 9.00.

Aby skutecznie przygotować się do matury z matematyki, należy zaznajomić się z modelowymi zadaniami matematycznymi oraz z geografią tablic matematycznych. Zaleca się również przeanalizowanie arkuszy z poprzednich lat. Aby zdać maturę z dobrym wynikiem, przygotowania do niej należy rozpocząć dużo wcześniej.

„Pewniaki”

Niektóre z zadań maturalnych pojawią się cyklicznie na egzaminie maturalnym, są to więc zadania warte uwagi. Dziś prezentujemy wam przykładowe zadania maturalne z matematyki z zakresu zadań dowodowych z podzielnością oraz resztą na poziomie podstawowym wraz z rozwiązaniami rozpisanymi w formie etapów.

Zadanie 1 (0-2 pkt) [źródło: Grudzień 2024/CKE]

Wykaż, że liczba 2¹⁰⁰ +4⁴⁹ +16²⁴  jest podzielna przez 21.

Przed przystąpieniem do rozwiązywania tego zadania należy przyjrzeć się zawartej w nim liczbie. Jeżeli jest ona wynikiem sumy liczb podniesionych do dowolnej potęgi o różnych podstawach potęgowania, należy sprowadzić je do potęgi o podstawie tej samej liczby. W tym przypadku liczby należy sprowadzić do podstawy cyfry 2.

Etap 1:

Liczbę 2¹⁰⁰ pozostawiamy bez zmian, ze względu na fakt, iż niemożliwe jest zapisanie tej liczby w prostszy sposób.

Liczbę 4 można zapisać jako 2² i to właśnie tę formę należy podstawić w jej miejsce otrzymując: 4⁴⁹ =(2²)⁴⁹. Następnie korzystamy ze wzoru (aⁿ)^m = a^(n*m)  i otrzymujemy: (2²)⁴⁹= 2^2*49= 2⁹⁸

W następnej kolejności zmieniamy podstawę potęgowania liczby 16²⁴. Należy wykonać to w analogiczny sposób. Konieczne jest zauważyć, iż 2⁴= 16 i tę wartość wstawić w miejsce liczby 16 otrzymując: 16²⁴ = (2⁴)²⁴ = 2^4*24= 2⁹⁶

Etap 2:

Gdy otrzymaliśmy liczby o tych samych podstawach, przekształcamy pierwotną liczbę i otrzymaliśmy następujący wynik:

2¹⁰⁰+4⁴⁹+16²⁴=2¹⁰⁰+(2²)⁴⁹ (2⁴)²⁴=2¹⁰⁰+2⁹⁸+2⁹⁶

Etap 3:

W następnej kolejności wyłączamy wspólny czynnik przed nawias:

2¹⁰⁰ +4⁴⁹ +16²⁴  = 2¹⁰⁰ +(2²)⁴⁹ (2⁴)²⁴ = 2¹⁰⁰+2⁹⁸+2⁹⁶ =2⁹⁶ * (2^100-98+2^98-96+2^96-96 ) = 2⁹⁶ * (2⁴ +2² +2⁰)

Etap 4:

Korzystamy z własności działań na potęgach i otrzymujemy:

2⁹⁶ *(16+4+1) = 2⁹⁶ * 21

Uwaga: Każda liczba niezerowa poniesiona do potęgi zerowej równa się jeden : a⁰ = 1.

Podsumowanie:

Liczba 2 ⁹⁶ jest liczbą całkowitą, natomiast każda liczba będąca wynikiem iloczynu liczby całkowitej oraz liczby 21 jest podzielna przez 21. Dowód uznaje się za zakończony.

Zadanie 2 (0-2 pkt) [źródło: Informator 2025/CKE]

Wykaż, że liczba 345 + 9²² +27¹⁴ jest podzielna przez 37.

Etap 1:

Podobnie jak w poprzednim zadaniu, należy doprowadzić wszystkie liczby do tej samej podstawy potęgowania. Warto zauważyć, że 3²=9 oraz 3³=27. Gdy podstawimy otrzymane liczby otrzymamy:

3⁴⁵+9²²+27¹⁴ = 3⁴⁵+(3²)²² +(3³)¹⁴ .

Etap 2:

Doprowadzamy wyrażenie do prostszej postaci, otrzymując:

3⁴⁵+(3²)²² +(3³)¹⁴ = 3⁴⁵+3²*²² + 3³*¹⁴ = 3⁴⁵ + 3⁴⁴ + 3⁴² .

Etap 3:

W następnej kolejności wyłączamy wspólny czynnik przed nawias:

3⁴⁵ + 3⁴⁴ + 3⁴² = 3⁴² * (3^45-42 + 3^44-42 + 3^42-42) = 3⁴⁵ * (3³ + 3² + 3⁰).

Etap 4:

Korzystamy z własności działań na potęgach i otrzymujemy:

3⁴⁵ * (3³ + 3² + 3⁰) = 3⁴⁵ * (27 + 9 + 1) = 3⁴⁵ * 37

Podsumowanie:

Otrzymana postać jest wystarczającym dowodem, aby zakończyć zadanie, warto napisać komentarz, w którym podsumujemy, iż liczba jest podzielna przez 37, ponieważ liczba 3⁴⁵  jest liczbą całkowitą, natomiast każda liczba będąca wynikiem iloczynu dowolnej liczby całkowitej oraz liczby 37 jest podzielna przez 37.

Zadanie 3 (0-2 pkt) [źródło: Informator 2025/CKE]

Udowodnij, że dla każdej liczby całkowitej (n) liczba (3n+5)² +11n² – 18  przy dzieleniu przez 5 daje resztę 2.

Etap 1:

Na samym początku należy podana liczbę sprowadzić do prostszej postaci, stosując wzór skróconego mnożenia:

(a+b)² = a² + 2ab + b²

(3n+5)² +11n² – 18  = 9n²+30n+25+11n² – 18 = 20n² +30n+7

Etap 2:

Drogi maturzysto, zwróć uwagę na to, które czynniki zawarte w liczbie są podzielne przez 5:

Cyfra 7 jako jedyna nie jest podzielna przez 5, dlatego należy przekształcić ją do innej postaci: 7=5+2, którą wstawimy w zamian poprzedniej:

20n² +30n+7 = 20n² +30n + 5+2

Etap 3:

W następnej kolejności wyłączamy wspólny czynnik przed nawias:

20n² +30n + 5+2 =5*(4n² + 6n+1) +2

Podsumowanie:

Ze względu na to, iż liczba (n) jest liczbą całkowitą, liczby 4n² oraz 6n są również liczbami całkowitymi, natomiast suma dwóch liczb całkowitych oraz liczby 1 także jest liczbą całkowitą. Zatem liczba przy dzieleniu przez 5 daje resztę 2.

Drodzy maturzyści, mamy nadzieję, że przykładowe zadania pomogły wam utrwalić fragment obowiązkowego materiału. Matura jest jednym z pierwszych wyzwań, z którymi przyjdzie wam się zmierzyć w „dorosłym życiu” oraz jednocześnie pierwszym krokiem na drodze do marzeń. Z całych serc życzymy

wam wielu sukcesów, odwagi oraz wiary we własne umiejętności. Zdobyta wiedza z pewnością przyniesienie ze sobą wspaniałe efekty. W Sali W28 trzymamy za was wszystkich kciuki. Powodzenia!